Bạn có nhớ chính xác các công thức logarit lớp 12 là gồm những công thức nào không? Nếu không nhớ thì cần học ngay bởi đây là các công thức vô cùng quan trọng để giải các bài tập trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia tới đây. Để bạn không phải tìm, LuyenThiThongNhat.org đã biên soạn chi tiết các công thức logarit cần nhớ. Dựa vào các công thức này bạn có thể suy ra nhiều công thức nâng cao khác. Bây giờ hãy cùng mình đọc bài viết thôi nào.
A. Logarit là gì?
Khi 0 < a ≠ 1; b > 0 thì ta có ${{\log }_{a}}b=N\Leftrightarrow b={{a}^{N}}.$
Khi đó:
B. Những tính chất logarit quan trọng
Phần kiến thức logarit có 5 tính chất quan trọng dưới đây
C. Các công thức logarit từ cơ bản tới nâng cao
Dưới đây là 8 công thức logarit căn bản:
Bên cạnh những công thức của logarit trên nếu muốn giải được nhiều dạng bài tập logarit thì bạn cần nhớ 3 dạng toán sau đây.
D. Các dạng bài tập logarit
Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức của logarit
Để rút gọn được bạn cần làm theo 2 bước sau đây
Dạng toán 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit
Ta sẽ làm theo 3 bước sau đây
Dạng toán 3: Biểu diễn một logarit
Chúng ta làm theo 2 bước sau đây
E. Bài tập logarit
Bài 1: Tìm tập xác định D của hàm số $y=f(x)={{\log }_{3}}({{x}^{2}}+3\text{x}+2)$?
A. $D=\left[ -2;-1 \right]$.
B. $D=\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( -1;+\infty \right)$.
C. $D=\left( -2,-1 \right)$.
D. $D=\left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ -1;+\infty \right)$.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B.
Hướng dẫn giải: Điều kiện ${x^2} + 3{\rm{x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < – 2\\ x > – 1 \end{array} \right.$. Vậy là xong bài toán!
Bài 2. Phương trình $lo{{g}_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-3 \right)=6$ có?
A. Hai nghiệm dương
B. Một nghiệm dương
C. Phương trình vô nghiệm
D. Một nghiệm kép
Hướng dẫn giải
điều kiện ${{3}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0.$ Phương trình đề bài đã cho
$\begin{array}{l} lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right).lo{g_3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 6\\ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right).lo{g_3}\left[ {3\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = 6\\ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_3}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = 6\\ \Leftrightarrow lo{g_3}{\left( {{3^x} – 1} \right)^2} + {\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right) – 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = 2\\ lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = – 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {3^x} = 10\\ {3^x} = \frac{{28}}{{27}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\log _3}10\\ x = {\log _3}\frac{{28}}{{27}} \end{array} \right. \end{array}$
Vậy là ta dễ dàng chọn được phương án đúng!
Tất nhiên các em vẫn có thể dùng chức năng SHIFT SOLVE trong máy V1NACAL 570ES PLUSII để tìm ra nghiệm của phương trình.
Nhưng trong những câu hỏi dạng có mấy nghiệm (có mấy nghiệm âm, dương) các em nên giải hẳn ra nghiệm để có thể kết luận chính xác
Bổ trợ kiến thức: Nhập vào máy tính biếu thức: $lo{{g}_{3}}\left( {{3}^{x}}-1 \right).{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-3 \right)=0$
Vì điều kiện của chúng ta là $x>0$ nên tuyệt đối không SOLVE với số âm vì sẽ làm đứng máy rất mất thời gian
Bây giờ tác giả sẽ nói lên hạn chế của máy tính: Với điêu kiện $X>0$ các em SOLVE với 1 số chăng hạn $X=1$ sẽ ra được 2.0959… sau đó các em tiếp tục với các số lớn hơn vẫn ra 2.0959…tiếp tục với các số nhỏ hơn 1 ví dụ $X=0.5$ (an tâm vì số này đã sát giới hạn 0) vẫn ra 2.0959…
Từ đó dẫn tới kết luận phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là hoàn toàn sai. Các bạn thử SOLVE với giá trị $X=0.4$ máy sẽ cho ra $0.033103…$ Kết luận phương trình của
chúng ta có 2 nghiệm phân biệt.
Từ đây có thế thấy, khi giải những bài dạng này bằng máy tính phải SOLVE với rất nhiều giá trị đế không sót nghiệm và càng gần tập xác định càng tốt.
Tất nhiên là còn một cách giải và cách giải thích theo Toán học thuyết phục hơn, khoa học hơn nhưng tác giả sẽ giới thiệu ở những phần sau
Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trinh ${{5}^{{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( \frac{x-2}{x} \right)}}<1$ là
A. $\left( 2;+\infty \right)$
B. $\left( -\infty ;0 \right)$
C. $\left( 0;2 \right)$
D. $\left( 0;+\infty \right)$
Hướng dẫn giải
Ta có điều kiện: $\frac{x-2}{x}>0$
Bất phương trình đã cho:
$\begin{array}{l} {5^{{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {\frac{{x – 2}}{x}} \right)}} < 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {\frac{{x – 2}}{x}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{x} > 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{x} > 0\\ \Leftrightarrow x < 0 \end{array}$
Bổ trợ kiến thức:
Các em có thể dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS II để giải nhanh các dạng toán này như sau
Nhập vào máy tính: ${{5}^{{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( \frac{x-2}{x} \right)}}-1$ bấm CALC với $x=3$ ta thấy được ${{5}^{{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( \frac{x-2}{x} \right)}}-1=4>0$
do đó loại nhanh được các phương án A, C, D không thỏa mãn yêu câu bài toán.
Trong một số bài toán với nhiều công thức tính toán phức tạp thì việc áp dụng phương pháp loại trừ rất quan trọng đế giải quyết nhanh gọn các bài toán
Bài 4. Xét các số thực a, b thỏa mãn $a>b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}({{a}^{2}})+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)$?
A. ${{P}_{\min }}=19$.
B. ${{P}_{\min }}=13$.
C. ${{P}_{\min }}=14$.
D. ${{P}_{\min }}=15$.
Hướng dẫn giải
Đáp án: D.
Ta có được $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)={{\left[ 2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)=$$=4{{\left[ {{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( \frac{a}{b}.b \right) \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)=4{{\left[ 1+{{\log }_{\frac{a}{b}}}b \right]}^{2}}+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right)$.
Đặt $t={{\log }_{\frac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$). Khi đó $P=4{{\left( 1+t \right)}^{2}}+\frac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+\frac{3}{t}+4.$
Xét hàm $f(t)=4{{t}^{2}}+8t+\frac{3}{t}+4$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, ta được $P=f(t)\ge f\left( \frac{1}{2} \right)=15$.
Bổ trợ kiến thức: Cho $b=1,1$ và coi a là X.
Dùng MODE7 khảo sát $f(X)={{\left( {{\log }_{\frac{x}{1,1}}}\left( {{X}^{2}} \right) \right)}^{2}}+3{{\log }_{1,1}}\left( \frac{X}{1,1} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l} Start = 1,1\\ End = 3\\ Step = 0,1 \end{array} \right.$.
Quan sát bảng giá trị, ta thấy $f(X)$ nhỏ nhất bằng 15 khi $X=1,3$.
Bài 5. Tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}(5{{\text{x}}^{2}}-21)=4$ là?
A. $\left\{ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right\}$.
B. $\left\{ -5;5 \right\}$.
C. $\left\{ -{{\log }_{2}}5;lo{{g}_{2}}5 \right\}$.
D. $\varnothing $.
Hướng dẫn giải
Đáp án: A.
Dễ dàng có: ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 5{{\text{x}}^{2}}-21 \right)=4\Leftrightarrow 5{{\text{x}}^{2}}-21=\sqrt{{{2}^{4}}}=4\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$.
Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính (VINACAL 570ES PLUS II) để giải nhé ! Đơn giản các em nhập vào máy tính: ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 5{{\text{X}}^{2}}-21 \right)-4$ và bấm CALC $X=\sqrt{5};-\sqrt{5}$ khi đó ta dễ dàng thấy được ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 5{{\text{X}}^{2}}-21 \right)-4=0$ và chọn nhanh được phương án đúng.
Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máy tính có thể xử lí được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán.
Trên đây là toàn bộ bài viết toán học chia sẻ về logarit. Chúng tôi không chỉ chia sẻ bạn các công thức logarit mà còn nhiều kiến thức căn bản lý thuyết khác cũng như rèn luyện kĩ năng giải bài tập sao cho chính xác và biết cách giải nhanh. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn trong quá trình ôn luyện.
